문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 디랙 델타 함수 (문단 편집) === 성질 === 위에서 밝혔듯 디랙 델타 함수 특성 상 모든 성질의 증명에는 시험 함수와의 적분 연산이 쓰인다. i. [math({ \delta(x)=\delta(-x) })] * 즉, 이 성질은 디랙 델타 함수가 [[대칭함수|짝함수(Even function, 우함수)]]임을 나타낸다. 다만, 명확히 말하면 디랙 델타 함수는 분포 중 하나이므로 짝분포임이 엄밀한 설명이다. ||{{{#!folding [증명] ------- 시험 함수 [math(f(x))]에 대하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(-x) f(x) \,\mathrm{d}x &=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(y) f(-y) \,\mathrm{d}y \\ &=f(0) \end{aligned} )]}}} 이다. 위에서 [math(-x \equiv y)]로 [[치환적분]] 했다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) f(x) \,\mathrm{d}x =f(0) )]}}} 임을 상기하면, [math({ \delta(x)=\delta(-x) })]임이 증명된다. }}} || [br][br] i. [math( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-x_{0}) f(x)\,\mathrm{d}x=f(x_{0}) )][* [math(x=x_{0})]에서의 [math(f)] 함숫값을 디랙 델타 함수로 '''촬영'''했다고 생각하면 쉽다.] ||{{{#!folding [증명] ------- [math(x-x_{0} \equiv y)]로 [[치환적분]]하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-x_{0}) f(x)\,\mathrm{d}x&=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(y) f(y+x_{0})\,\mathrm{d}y \\ &=f(x_{0}) \end{aligned} )]}}} 임이 증명된다.}}} || [br][br] i. [math( \displaystyle \delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x) )] ||{{{#!folding [증명] ------- '''[1]''' [math(a>0)]일 때 이 때 [math(a=|a|)]로 쓸 수 있고, 시험 함수 [math(f(x))]에 대하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(|a|x) f(x) \,\mathrm{d}x \end{aligned} )]}}} 로 쓸 수 있다. [math(|a|x \equiv y)]로 치환적분하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(|a|x) f(x) \,\mathrm{d}x &=\frac{1}{|a|}\int_{-\infty}^{\infty} \delta(y) f \left( \frac{y}{|a|} \right) \mathrm{d}y \\ &=\frac{f(0)}{|a|} \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{|a|} \delta(x) f(x) \,\mathrm{d}x \end{aligned} )]}}} 에서 증명된다. '''[2]''' [math(a<0)]일 때 이 때 [math(a=-|a|)]로 쓸 수 있고, 시험 함수 [math(f(x))]에 대하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(-|a|x) f(x) \,\mathrm{d}x \end{aligned} )]}}} 으로 쓸 수 있다. [math(-|a|x \equiv y)]로 치환적분하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(|a|x) f(x) \,\mathrm{d}x &=\frac{1}{|a|}\int_{-\infty}^{\infty} \delta(y) f \left(- \frac{y}{|a|} \right) \mathrm{d}y \\ &=\frac{f(0)}{|a|} \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{|a|} \delta(x) f(x) \,\mathrm{d}x \end{aligned} )]}}} 에서 증명된다. 이상의 결과를 종합하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \displaystyle \delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x) )]}}} 임을 얻는다.}}} || [br][br] i. [math( \displaystyle \delta(g(x))=\sum_{i} \frac{\delta(x-x_{i})}{|g'(x_{i})|} \ (g(x_{i})=0,\, g'(x_{i}) \neq 0) )][* 분포이론 관점에서 엄밀하게 본다면 이는 성질보다는 [math(\delta(g(x)))]의 '정의'라고 보는 것이 자연스럽다.] * 이것을 이용하면 아래를 증명할 수 있다. * [math( \displaystyle \delta((x-a)(x-b))=\frac{\delta(x-a)+\delta(x-b)}{|a-b|} )] * [math( \displaystyle \delta(x^2-a^2)=\frac{\delta(x+a)+\delta(x-a)}{2|a|} )] ||{{{#!folding [증명] ------- 함수 [math(g(x))]의 영점 [math(x_{i})]에서만 디랙 델타 함수의 함숫값이 존재한다는 것을 이용하자. 영점 근처에서 함수 [math(g(x))]를 일차항까지만 전개하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle g(x)=g'(x_{i})(x-x_{i}) )]}}} 가 되고, 한편, 시험 함수의 적분 연산을 위 결과를 이용하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(g(x)) f(x)\,\mathrm{d}x&=\sum_{i} \int_{x_{i}-\epsilon}^{x_{i}+\epsilon} \delta(g'(x_{i})(x-x_{i}))f(x)\,\mathrm{d}x \\ &=\sum_{i} \frac{1}{|g'(x_{i})|}\int_{x_{i}-\epsilon}^{x_{i}+\epsilon} \delta(x-x_{i})f(x)\,\mathrm{d}x \\ &=\sum_{i} \frac{f(x_{i})}{|g'(x_{i})|} \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} \left[ \sum_{i} \frac{\delta(x-x_{i})}{|g'(x_{i})|} \right] f(x)\,\mathrm{d}x \end{aligned} )]}}} 로 쓸 수 있으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \delta(g(x))=\sum_{i} \frac{\delta(x-x_{i})}{|g'(x_{i})|} )]}}} 가 성립한다.}}} || [br][br] i. [math(\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(x-n)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{2in \pi x})] ||{{{#!folding [증명] ------- 위 함수는 주기가 1인 [[주기함수]]이므로 [[푸리에 해석]]에 따라 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(x-n)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ne^{2in \pi x})]}}} 으로 적을수 있으며, [math(a_{k})]을 추려내기 위해 양변에 [math(e^{-2ik \pi x})]를 곱한뒤 [math([-2^{-1},\,2^{-1}])]범위에서 적분을 하면 모든 [math(k)]에 대해 [math(a_{k}=1)]임에 따라 위 식을 얻는다.}}} || * 이 식은 [[제타 함수|리만제타함수]] 항등식을 유도할 때에도 쓰인다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기